“数学味”，就是数学的四个基本思想方法

——关于数学教育的一个想法

2001年至今的课改第一阶段，各科教师都注重了对普遍性新课改理念的领会和贯彻，强调了课堂学习中学生主体性、创造性的发挥，强调了让课堂充满情趣和快乐，强调了师生之间、学生之间的合作学习等等。

这是极大的进步但又暴露出极大的不足：学生的积极性、创造性、情绪情感只停留在比较肤浅的层面，而没有与各学科的学习要求紧密结合，于是表面热闹的课堂却“语文课不象语文课”、“数学课不象数学课”。

于是为了课改的深化，就提出了“数学课要有数学味”的问题。

一、  数学味就是数学的文化意味

一个社会大系统，它的基本子系统就是政治、经济与文化这三个，而其中的文化子系统内部又包括了文学艺术、新闻舆论、科学（自然科学、社会科学、人文科学、思维科学、技术科学等等）、哲学、宗教、风俗、礼仪及我们教育等等。

教育这个次子系统有着格外的重要性与特殊性。

特殊性：教育（除高等教育外）主要不是文化的生产者而是文化的传播、传递者，如此才能使每个后代都“有文化”从而承担继续建设与发展政治、经济与文化的重任。既然教育要传播、传递的文化包含各门各类，所以教育的内容遍布人类文化的每个领域，而其他任一个文化领域都基本上“只扫自己门前雪”。

重要性来自它的特殊性——没有了教育，其他文化部门生产出来的所有文化都会消散、断根，人类就会退化为只能靠生物遗传本能生存的低等动物。

因此应该得出两个结论：第一，每门学科的基本任务都是传播、传递自己所对应文化门类的东西（当然也包括传播传递各门类文化共同的东西）；第二，要传播传递的东西是你对应的这个文化门类特有的精髓而不是“杂多的全部”。

这个“文化精髓”就是“文化意味”，——为什么呢，意味者，“意境”、“趣味”也，按中国美学思想，一幅画、一件艺术品，最精髓的东西就是它的意境与趣味。

所以数学味就是数学的文化意味。

二、  数学文化精髓、数学味在于它的四个基本思想方法

任何一种文化，其组成都包含物质文化、制度文化、精神文化三种要素而以精神文化要素为核心。

比如我们要抓数学学科建设或数学文化建设，当然要抓物质条件的建设，还要抓符合数学教学教研要求的相关制度建设。但千万不要忘记：这些建设都是外围性的，核心的建设任务是让校长、数学教师乃至全体教职工和每个学生在管理、教育和学习中充分具备并发挥数学精神，否则那些物质条件和制度都不过是没价值的摆设。

那么数学精神又是什么呢？

我们常说学数学的人与别的人不同，他们在想问题和做事时常常喜欢追求数量精确性、过程严谨性、条理简约性以及思考与表达的高度概括性——这就是他的数学精神。如果把上面的日常说法提炼成比较精确的语言，我觉得数学精神就是思维与行为的精确量化性、严谨逻辑性、简约递归性和整体结构性。

这种数学精神当然不会从娘肚子里带出来，它是在学习和运用数学的过程中熏陶、感染、感知、领悟和实践锻炼出来的；之所以能够如此，是因为本来数学最基本的思想方法就是量化思想方法、逻辑化思想方法、递归化思想方法和结构化思想方法。

当然，数学基本思想方法究竟有哪些，专家们看法不同。据《数学课标解读》说，有的(比如美国人)主张只提最概括性的几个，有的则提得很多（我看的一些中国学者写的书中就是这样）——把许多解题法比如集合方法、函数方法、换元方法等等都放进去了。看法不同无可厚非，对事物的认识允许各种看法公平竞争、各显其能。但考虑到今天的我们需要尽可能精炼地抓住数学文化的精髓也就是数学教育的核心价值，所以我赞成美国人的看法，只提四个基本思想方法，这只是一己浅薄之见，仅供参考和批判。

其次， “思想”与“方法”略有不同。狭义地说，方法指思路、策略或技巧，思想则指观念、态度并融蕴着情感；但广义地说，思想包含着方法，方法也隐含着思想。今天的数学教师，容易重视方法却容易忽视思想，所以如果大家想把“基本思想方法”这个词组缩短点，建议选择“数学思想”而不选择“数学方法”。

三、对四个基本思想方法的简要说明

第一方面的说明，四个基本思想方法分别是什么意思。对此我来做一个简要的解释：

量化思想方法：可以简单地描述为“追求定量、讲究精确的态度与行为方式（这里的“行为”包括思维操作行为）” ，即在思维和行动中追求了解与运用对象及它们之间关系在数量上的精确性。在运用数学研究某一类事物的过程中，首先我们关注这类事物各元素“量”的属性（如几个、几只、几朵、几块等），然后把这些量及它们之间的关系抽象为数及各数之间的大小、多少、顺序等关系，再后我们创设出数与数之间的运算方式（四则运算、乘方开方直至更复杂的运算），再后又创设这些运算应遵守的各种算律（运算顺序、交换率、结合律等），最后我们根据这些算律推论出各种简便运算方法（含简便运算及代数与几何中的各种定理）。

逻辑化思想方法：可以简单地描述为“追求严谨、讲究逻辑的态度与行为方式”，即追求思维与行为过程及知识系统的严谨性。逻辑化思想方法的主要特征是：第一，追求思维过程符合形式逻辑法则（同一律、矛盾律、排中律、充足理由律，概念、判断、演绎推理各法则，归纳法则、类比法则——合情推理必须遵守的法则等等）；第二，追求一个知识体系的公理化结构，即其知识系统应以某些原始定义和公理为逻辑起点，只运用它们并只通过演绎推理逐步定义出其他所有概念和证明出所有定理。

递归化思想方法：人类出于“思维经济化”即提高思维效率的本能倾向，总是尽力把通过长期积累已经丰富起来但繁多与杂乱的知识集合整理成一个可以递归、还原的系统——每项新知识总可以用旧知识来生成，即把新的递归（还原）为旧的、把复杂的递归（还原）为简单的。

递归化思想方法虽然可以看作是逻辑化思想方法的派生与拓展结果，但由于它只在知识系统发展的更后期出现并比一般的“逻辑严谨性”更关注知识系统的整体结构性质，所以我把它定为一种独立的思想方法。

递归化思想方法的宗旨是追求知识体系的简约递归性，可以简单地描述为“追求简约、讲究递归的态度与行为方式”。

结构化思想方法：到了二十世纪中期，人们逐渐达成一种共识：数学所研究的主要是各类事物集合中诸元素之间的结构关系，并用数量的和逻辑的语言来描述这种关系结构。这就是现当代数学特别重视的结构化思想，它所追求的是研究结果的整体结构性，简单来描述它可以是“追求整体、讲究结构的态度与行为方式”。

对结构化思想方法补充说明两点：首先，数学运用结构化思想方法得出的研究结果（“产品”）便是各种数学模型（它不同于工程中的实物模型、语言中的语词模型、物理模型或化学模型等），运用这些模型可以通过“数学模拟”的方法来解决各种应用性问题，而“数学模拟”在当代科学（包括各门科学）、技术、工程研究中已成为几乎处处要用的方法；其次，要认识到，广义地说，每一个数学概念、原理、法则、公式、图形、图表直至某个数学理论体系都是一种数学模型。

第二方面的说明，四个基本思想方法之间的关系。

从数学发展的历史来看，四个基本思想方法的发生与成熟是有先后的。古希腊之前的各种古文明，包括古埃及、巴比伦、古印度和古中国，都以量化思想方法及其实际应用（天文、土地测量、建筑、税收及商品交换等）为主；公元前三百年左右的古希腊才开辟了比较系统的逻辑化思想方法并以它作为数学的主要思想方法（墨子等人对逻辑化思想方法的探索在古中国没形成气候反而湮灭了）；递归化思想方法的系统出现并得到高度重视更在其后；至于结构化思想方法的成型并得到重视还不到一百年的历史。这种先后不断地发展正好表现出数学的逐渐理论化、严谨化及实际应用的日益广泛化。

另一方面，从数学在各个古文明独立成为一门学科开始，这四个基本思想方法或多或少就都是存在的，只不过各自的成熟程度和受重视的程度不同而已。特别在今天的世界，只要我们运用数学来思考和解决问题，就离不开这四个思想方法的综合运用。举个简单的例子吧——一年级小学生在商店购物时计算买一支笔和两个练习本一共要多少钱：他首先要运用量化思想方法设法列式计算；而在计算时要遵守从左到右的运算顺序，这顺序化的思维就是一种逻辑化思维；而买完了回家的时候，这个孩子很可能会反过来用加法来验算丢了钱没有，这个过程既是逻辑化的逆向思维又是在把减法递归为加法；最后我们要知道，这个孩子所运用的“总量等于各分量之和”以及求和加法本身，就是三个单价要素之间的一种“和”结构的数学模型——可别小看了这个加法的“和”结构模型，全国著名的小学数学教学专家、北京的马芯兰就认为：全部小学数学的内容都可以归结为一个加法，加法学好了，小学数学就可以学好。

四、小学数学中这四个基本思想方法是怎样分布的（略）

五、要高度重视四个基本思想方法的数学教育核心价值

数学的内容及其教育价值当然很丰富：它的知识与技能、它的一大堆具体方法及掌握与运用它们的能力，还有它内含的情感态度与价值观。

与西方发达国家不同，我们中国教育从古至今偏重的是两点：一点是知识与技能方面的智育，一点是政治化、伦理化的德育，——而相对忽视了能力（特别是批判和创新的能力）与各学科所含的非政治化、非伦理化的那部分情感态度价值观。

对第一点偏颇，我们早已有了反对与修正它的共识——现在我们强调的是能力特别是批判和创新能力。但能力要怎样去培养呢？除了需要一定的知识技能积累作基础之外，更重要的是学方法和经常运用这些方法。数学的方法极多，不梳理出繁多具体方法的脉络、不抓住纷繁复杂中的根本，学生会深陷那些具体方法、会只把它们当作各种技能甚至“技巧”，反而会迷失数学的根本宗旨、丧失运用数学乃至创新数学的根本能力。因此，从培养学生数学能力的角度出发，我们必须重视了解数学的基本思想方法并让学生也逐步了解它们。

对第二点偏颇，至今尚未引起高度关注，令人担忧。

数学教育中要不要、能不能进行政治化、伦理化的德育（比如“五讲四美三热爱”）？要，也能。但数学课毕竟不是思品政治课，数学课中要进行的德育或者说“情感态度价值观”目标的实现，应区别于思品政治教育，其主要任务是传达并让学生感受、感悟、理解并养成数学独特的“情感态度价值观”。如果数学、语文、科学、社会、艺术、体育、外语等各个学科都这样紧抓自己独特的“情感态度价值观”，再加上思品政治课和各类德育活动，德育不就会做得更丰满、更充实、更有效吗？

那么数学独特的情感态度价值观是什么？那就是了解并信任数学基本思想方法认识与改造世界的价值，进而在学习和运用数学基本思想方法的过程中检验这一价值，通过检验的证实和运用的成功激发对数学基本思想方法的热爱之情，长期地、坚持不懈地这样做下去，最终养成“爱数学、爱学数学、爱用数学”的态度。

因此，从纠正中国传统教育上面那第二个偏颇的角度出发，也应该高度重视数学的四个基本思想方法。只有这样，才能真正实现数学教育的核心价值，而不至于像以前的多年那样，灌输了一大堆的数学概念、法则和公式，学生却始终没有学数学、用数学的能力，而且怕数学甚至讨厌数学。

最后，为了让“基本”更“基本”，我觉得可以把数学的四个基本思想方法再概括得简单一点，那就是：精确量化、严谨逻辑、简约递归、整体结构——它们既是知识、又是方法与能力、也是情感态度价值观，总之它们是数学课程三维目标的统一体。